离散动力系统：不动点、周期轨道与吸引域

父级：orbit

基础层：$X$ 是一个集合（涉及稳定性问题时取为度量空间），$f: X \to X$，轨道 $O_f(x)$ 的定义见 orbit。

术语

Definition

• $x^*$ 是不动点，如果 $f(x^*) = x^*$。
• $x$ 是周期为 $p$ 的周期点，如果 $f^p(x) = x$ 且 $p$ 是满足此式的最小正整数；其轨道 $\{x, f(x), \dots, f^{p-1}(x)\}$ 称为一个 $p$-循环。
• $x$ 是最终周期的，如果 $f^m(x)$ 对某个 $m \ge 0$ 是周期点（在有限集 $X$ 上，每一个点都是最终周期的——鸽笼原理）。
• 当 $X$ 是度量空间时：不动点 $x^*$ 是吸引的，如果它有一个邻域 $U$，满足 $f(U) \subseteq U$，且 $f^n(u) \to x^*$ 对所有 $u \in U$ 成立。吸引域定义为 $\{x : f^n(x) \to x^*\}$。

稳定性判据（一维）

设 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是 $C^1$ 的，且 $f(x^*) = x^*$。若 $|f'(x^*)| < 1$，则 $x^*$ 是吸引的；若 $|f'(x^*)| > 1$，则是排斥的。对于 $p$-循环 $\{x_1,\dots,x_p\}$，把此判据用在 $f^p$ 上；由链式法则 $(f^p)'(x_1) = f'(x_1) f'(x_2) \cdots f'(x_p)$——一个数就决定了整个循环的稳定性。

共轭是"同一个系统"这一概念的形式化：$g = h \circ f \circ h^{-1}$，其中 $h$ 是某个双射（在拓扑范畴中是同胚）。共轭把轨道映到轨道、周期映到周期——它是问题在不同系统之间搬运的方式（在 symbolic-dynamics 与 complex-dynamics 中被反复使用）。

例题：logistic 映射

$f_r(x) = r x (1-x)$ 定义在 $[0,1]$ 上，参数 $0 < r \le 4$。于是 $f_r'(x) = r - 2rx$。

不动点：解方程 $rx(1-x) = x$，得 $x^* = 0$ 或 $x^* = 1 - \tfrac{1}{r}$。

• 在 $0$ 处：$f_r'(0) = r$，当且仅当 $r < 1$ 时吸引。
• 在 $1 - \tfrac{1}{r}$ 处：$f_r'\!\left(1-\tfrac{1}{r}\right) = r - 2r\left(1 - \tfrac{1}{r}\right) = 2 - r$，当且仅当 $|2 - r| < 1$（即 $1 < r < 3$）时吸引。

在 $r = 3$ 处不动点失去稳定性，一个 2-循环随之诞生。继续取 $r = 3.2$：2-循环的点满足 $f(f(x)) = x$（把不动点的因子除去后），数值解为 $x_1 \approx 0.5130$，$x_2 \approx 0.7995$。验证它们互相交换：

该循环的稳定性：$(f^2)'(x_1) = f'(x_1)\,f'(x_2) = (3.2 - 6.4\cdot 0.5130)(3.2 - 6.4\cdot 0.7995) \approx (-0.083)(-1.917) \approx 0.16$，且 $|0.16| < 1$：吸引。✓

继续增大 $r$，周期不断加倍（倍周期级联），在 $r \approx 3.5699$ 处进入混沌；在 $r = 4$ 处该映射与帐篷映射共轭，完全混沌——区间上的故事在 topological-dynamics 中继续，其统计性质见 ergodic-theory-of-orbits。