区间上的拓扑动力学——沙尔科夫斯基序

上层：orbit · 前置：discrete-dynamical-systems

设定：$I \subseteq \mathbb{R}$ 是一个区间，$f: I \to I$ 连续（仅此而已——不要求光滑，不要求可测）。惊人之处在于：仅仅是一维空间上的连续性，就已经迫使周期呈现出一种严格的算术结构。

沙尔科夫斯基序

将正整数按如下方式排序（⊳ 表示"先于"）：

先是奇数，然后是 $2\times$ 奇数，然后是 $4\times$ 奇数，……最后是 2 的幂，按降序排列。

沙尔科夫斯基定理（1964）

若连续函数 $f: I \to I$ 存在一个周期为 $m$ 的周期点，则它对每一个周期 $n$（满足 $m \rhd n$）都存在周期点。

因此周期 3 迫使所有周期都出现（3 在 ⊳ 序中是最大者），而一个周期数只有有限多种的映射，其周期只能是 2 的幂。这个序是紧的（sharp）：对每一个 $m$，都存在一个映射，其周期集合恰好是 $\{n : m \rhd n\} \cup \{m\}$。

李天岩–约克（1975），"周期三蕴含混沌"

若 $f$ 存在一个周期为 3 的点，则存在一个不可数的混乱集（scrambled set） $S \subseteq I$：对任意 $x \neq y$（属于 $S$），

$$\limsup_{n\to\infty} |f^n(x) - f^n(y)| > 0 \quad\text{and}\quad \liminf_{n\to\infty} |f^n(x) - f^n(y)| = 0.$$

混乱对的轨道会无限次地任意靠近彼此，却永远不会稳定地贴合在一起。

两条定理背后共同的证明引擎是：若区间 $J_0, J_1$ 满足 $f(J_0) \supseteq J_0 \cup J_1$ 且 $f(J_1) \supseteq J_0$（一种覆盖关系，周期-3 轨道恰好提供了这种关系），那么覆盖图中的每一条无穷路径都会被某个点实现——每一种符号序列都对应一条轨道。这正是 symbolic-dynamics 从后门悄悄进场。

动手数一数：一个真正的周期-3 轨道

帐篷映射（tent map）$T(x) = 2\min(x, 1-x)$，定义在 $[0,1]$ 上。取 $x = \tfrac{2}{7}$：

这是一个 3-循环——于是由沙尔科夫斯基定理，帐篷映射拥有每一个周期的周期轨道，并且由李天岩–约克定理，它是混沌的。

一维性是关键所在

在圆周上，旋转 $1/3$ 圈的映射，其每一条轨道的周期都恰好是 3，不存在任何其他周期。沙尔科夫斯基序是一个关于区间拓扑的定理（其证明依赖于介值定理），并非关于一般动力系统的定理。