2026-08-28·by Sijie Wang#idea#math

threshold

阈值函数 — VC 维 = 1

父节点:examples 前置知识:learning-theory —— Hh、shattering(打散);

H={ht:tR}H = \{\, h_t : t \in \mathbb{R} \,\},只有一个参数:

ht(x)={+xtx<th_t(x) = \begin{cases} + & x \ge t \\ - & x < t \end{cases}

来数一数。(回忆一下:ht(p)=+h_t(p) = {+} 当且仅当 tpt \le p。)

能打散 1 个点 p 吗?+:取任意 t ≤ p;标 :取任意 t > p。两种标法都能实现 → 打散了 1 个点 → VC ≥ 1。

能打散 2 个点 p₁ < p₂ 吗? 把标法写成 (h(p₁), h(p₂)),对 2²=4 种情况逐一求解 t

标法t 的条件可实现?
(−,−)t > p₂
(−,+)p₁ < t ≤ p₂
(+,+)t ≤ p₁
(+,−)t ≤ p₁ t > p₂,即 p₂ < t ≤ p₁ —— 由于 p₁ < p₂,这无解

(+,−) 无解 → 没有任何 2 个点能被打散 → VC < 2。所以 VC = 1。

失效于任何非单调的模式,例如 − + −("只在中间为正"):这条规则根本不属于 H → 欠拟合。往上爬一步 → interval

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