平面中的线性分类器 — VC 维 = 3

上级：examples 前置：learning-theory —— H、h、打散（shattering）；ℝ。

假设类 $H = \{\, h_{w,b} : w \in \mathbb{R}^2,\ b \in \mathbb{R} \,\}$（权重向量 w，偏置 b）：

一条直线把平面切成 +/− 两半（一个假设 = 一刀）。它能打散任意 3 个不共线的点——2³ = 8 种标注全部覆盖——但在 XOR 排布上对 4 个点失败：两个 + 角落在一条对角线上，两个 − 角落在另一条对角线上，而两条对角线在中心相交，所以没有一条直线能把两个 + 分到一侧、两个 − 分到另一侧。

没错，两条直线确实能把 XOR 切开——但"两条直线"是一个不同的、VC 维更高的类。VC 维数的是你这个类里的一个假设能做到什么；对线性分类器来说，那就是一刀直切。

（一般地，线性分类器——齐次半空间加偏置——在 ℝᵈ 中的 VC 维为 d+1。）