高斯映射——作为轨道的连分数

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「一条轨道本身就是一个经典对象」——这是这一现象最鲜明的例子：反复迭代同一个映射，读出的正是连分数展开；Birkhoff 定理再把它变成关于几乎每个实数的数字统计规律。

高斯映射

$G: (0,1) \to [0,1)$, $\quad G(x) = \dfrac{1}{x} - \left\lfloor \dfrac{1}{x} \right\rfloor$（即 $1/x$ 的小数部分）。 $x$ 的数字定义为 $a_n(x) = \left\lfloor 1 / G^{n-1}(x) \right\rfloor$，于是

$$x = \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cdots}}}$$

——$G$ 下的轨道对连分数做移位，正如加倍映射对二进制数字做移位一样。

不变测度（高斯，1812年，写在一封信里——未留下证明）

勒贝格测度并不是不变的。正确的测度是：

高斯测度

$\mu(A) = \dfrac{1}{\log 2} \displaystyle\int_A \dfrac{dx}{1+x}$ 是 $G$-不变的，且 $G$ 关于它是遍历的。

不变性的验证：取 $A = (0, t)$，其原像为 $G^{-1}(0,t) = \bigcup_{k \ge 1} \left( \tfrac{1}{k+t}, \tfrac{1}{k} \right]$（即那些 $x$，其 $1/x$ 整数部分为 $k$，小数部分 $< t$）。求和：

是一个望远镜求和（把 $\log(1+\tfrac1k) = \log(k+1) - \log k$、$\log(1+\tfrac{1}{k+t}) = \log(k+1+t) - \log(k+t)$ 代入，部分和逐项抵消），最终收敛到 $\tfrac{\log(1+t)}{\log 2} = \mu\big((0,t)\big)$。✓

Birkhoff 定理带来了什么——对几乎每个实数而言

把遍历定理（ergodic-theory-of-orbits）应用到数字的指示函数和对数函数上：

• 高斯–库兹明数字频率： 数字 $k$ 出现的极限频率为 $$\mu\big(a_1 = k\big) = \log_2\!\left(1 + \frac{1}{k(k+2)}\right).$$ 逐一列出：数字 1 → $\log_2 \tfrac{4}{3} \approx 41.50\%$，数字 2 → $\log_2 \tfrac{9}{8} \approx 16.99\%$，数字 3 → $\log_2 \tfrac{16}{15} \approx 9.31\%$。小数字占主导，但每个数字都以正频率出现——对几乎每个 $x$ 都成立。
• 辛钦常数： 数字的几何平均收敛，$\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \to K_0 = \prod_{k\ge1} \left(1 + \tfrac{1}{k(k+2)}\right)^{\log_2 k} \approx 2.6854$——对几乎每个实数都收敛到同一个常数。
• 列维常数： 渐近分数的分母 $q_n$ 以一个普适的指数速率增长，$\tfrac{1}{n}\log q_n \to \tfrac{\pi^2}{12 \log 2} \approx 1.1866$。

细则

「几乎每个」恰恰排除了那些有趣的算术点：有理数（展开有限——轨道落到 $0$ 后停止）和二次无理数（数字最终周期——拉格朗日定理；例如黄金比例满足 $a_n \equiv 1$，其几何平均为 $1 \neq K_0$）。这与 ergodic-theory-of-orbits，以及在最强意义上的 collatz-orbit-statistics 是同一种告诫：测度论层面的知识，逐点意义上的盲区。