佐恩引理

父级：order-theory

佐恩引理

在一个偏序集中，如果每一条链（全序子集）都有上界，那么这个偏序集就存在一个极大元。

等价关系（在 ZF 之上）

佐恩引理 ⟺ 选择公理 ⟺ 良序定理（每个集合都可以良序化）。

怎么用

构造非构造性存在性证明的套路：

1. 构造由部分解组成的偏序集，按扩展关系排序。
2. 证明任意一条链都有上界——通常链的并集本身就是一个部分解。
3. 佐恩引理给出一个极大的部分解。
4. 论证这个极大元必然是完整的/完全的（否则就还能继续扩展它，与极大性矛盾）。

经典应用： 每个向量空间都有一组基；每个真理想都被包含在某个极大理想里；每个域都有代数闭包；Hahn–Banach 定理；超滤子的存在性；Tychonoff 定理（紧空间的任意乘积仍然是紧的）。

不是一个构造性不动点

把它和邻近的、不依赖选择公理的序理论定理区分开：Knaster–Tarski 定理（完全格）、Kleene（CPO，从 ⊥ 往上爬）、以及 Bourbaki–Witt 定理（链完备 + 递增映射），这几个定理都能在不用选择公理的情况下给出不动点/极大元。佐恩引理是其中唯一需要选择公理（AC）的一个——它是那个非构造性的存在性工具。（Bourbaki–Witt 定理常常被用来证明佐恩引理。）