1 型——上下文相关语言(有界带)
一台纸带长度被输入长度限死的图灵机——即线性有界自动机(LBA)。它拥有完整的随机访问内存,只是这份内存是有限的。
- 文法: 上下文相关文法——不收缩产生式
αAβ → αγβ(|γ|≥1);A两侧的上下文α,β是有影响的。 - 自动机: LBA 对应
NSPACE(n)。 - 例子:
aⁿbⁿcⁿ和aⁿbⁿcⁿdⁿ(多个计数需要同步协调);复制语言ww(检查任意两段是否相等);{ aⁿ : n prime }和{ aⁿ : n = 2ᵏ }(对长度施加算术条件);还有语言学家最爱举的例子——交叉串行依存(瑞士德语中…aabb…式的wwʼ模式),这是自然语言中某些部分超出上下文无关范围的经验证据,落在"温和上下文相关(mildly context-sensitive)"这一带(Chomsky's motivation)。
关键事实——仍然可判定。
成员判定是可判定的一台 LBA 的配置数是有限的(有界纸带 × 状态数 × 读写头位置数),所以一次运行要么停机、要么可被证明陷入循环——成员判定是可判定的(属于
PSPACE)。
这是最后一个可判定的层级。(细节:由 Immerman–Szelepcsényi 定理,NSPACE = coNSPACE,所以上下文相关语言类对补运算封闭;确定型 LBA 是否等于非确定型 LBA 仍是悬而未决的 LBA 问题。)
但即便在这一层,也不是一切都可判定: 一个上下文相关语言的空性判定是不可判定的。再往前一步——纸带变成无界的——连成员判定本身都不可判定了(recursively-enumerable-languages)。