2026-08-28·by Sijie Wang#idea#math

context-sensitive-languages

1 型——上下文相关语言(有界带)

父级:chomsky-hierarchy

一台纸带长度被输入长度限死的图灵机——即线性有界自动机(LBA)。它拥有完整的随机访问内存,只是这份内存是有限的

  • 文法: 上下文相关文法——不收缩产生式 αAβ → αγβ|γ|≥1);A 两侧的上下文 α,β 是有影响的。
  • 自动机: LBA 对应 NSPACE(n)
  • 例子: aⁿbⁿcⁿaⁿbⁿcⁿdⁿ(多个计数需要同步协调);复制语言 ww(检查任意两段是否相等);{ aⁿ : n prime }{ aⁿ : n = 2ᵏ }(对长度施加算术条件);还有语言学家最爱举的例子——交叉串行依存(瑞士德语中 …aabb… 式的 wwʼ 模式),这是自然语言中某些部分超出上下文无关范围的经验证据,落在"温和上下文相关(mildly context-sensitive)"这一带(Chomsky's motivation)。

关键事实——仍然可判定。

成员判定是可判定的

一台 LBA 的配置数是有限的(有界纸带 × 状态数 × 读写头位置数),所以一次运行要么停机、要么可被证明陷入循环——成员判定是可判定的(属于 PSPACE)。

这是最后一个可判定的层级。(细节:由 Immerman–Szelepcsényi 定理NSPACE = coNSPACE,所以上下文相关语言类对补运算封闭;确定型 LBA 是否等于非确定型 LBA 仍是悬而未决的 LBA 问题。)

但即便在这一层,也不是一切都可判定: 一个上下文相关语言的空性判定不可判定的。再往前一步——纸带变成无界的——连成员判定本身都不可判定了(recursively-enumerable-languages)。

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