遍历理论——单条轨道的统计学

父级：orbit

设定：给定一个概率空间 $(X, \mathcal{B}, \mu)$（$\mathcal{B}$ 是可测集构成的 σ-代数，$\mu$ 是一个概率测度），以及一个可测映射 $T: X \to X$。

Definition

• $T$ 是保测（measure-preserving）的，如果 $\mu(T^{-1}A) = \mu(A)$ 对每个 $A \in \mathcal{B}$ 都成立。（这里用的是原像而非像——$T$ 不必可逆。）
• $T$ 是遍历（ergodic）的，如果每个不变集都是平凡的，即 $T^{-1}A = A \implies \mu(A) \in \{0, 1\}$。直觉：整个空间不会被动力学分裂成两块各自有正测度、彼此独立的部分。

庞加莱回归定理

$T$ 保测，且 $\mu(A) > 0$。那么 $A$ 中几乎每一点都会无穷多次回到 $A$。（只需要保测性，不需要遍历性。）

伯克霍夫遍历定理（Birkhoff, 1931）

$T$ 保测且遍历，$f \in L^1(\mu)$。那么对 $\mu$-几乎每个 $x$：

$$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f\big(T^n x\big) \;\longrightarrow\; \int_X f \, d\mu \qquad (N \to \infty).$$

沿单条轨道的时间平均 = 整个空间上的空间平均。 正是这一点，让我们有权通过跟踪单条典型轨迹去了解全局性质。

实例：倍增映射与正规数

$T(x) = 2x \bmod 1$，定义在 $X = [0,1)$ 上，取勒贝格测度 $\mu$。

保测性： 对区间 $A = [a,b)$，$T^{-1}A = \left[\tfrac{a}{2}, \tfrac{b}{2}\right) \cup \left[\tfrac{a+1}{2}, \tfrac{b+1}{2}\right)$——两段各长 $\tfrac{b-a}{2}$ 的区间，加起来正是 $b - a = \mu(A)$。✓

$T$ 对二进制数字做了什么： 按二进制写成 $x = 0.d_1 d_2 d_3\ldots$，$T$ 删掉第一位数字：$T(x) = 0.d_2 d_3 d_4\ldots$——这条轨道正是在读出这个二进制展开。（$T$ 是完整 2-移位的单边情形；相应的词典是 symbolic-dynamics。）遍历性成立（例如可以用傅里叶系数来证：一个不变的 $L^2$ 函数满足 $\hat{f}(k) = \hat{f}(2k)$ 对所有 $k$ 成立，这迫使所有非零系数都消失）。

应用伯克霍夫定理，取 $f = \mathbf{1}_{[0,1/2)}$（"第一位数字是 0"的指示函数）：对几乎每个 $x$，

几乎每一个实数的二进制数字都是一半 0、一半 1——这正是波莱尔的正规数定理，直接从单条轨道的平均中掉了出来。用同样的方案换成 gauss-map，就能得到连分数展开的数字统计。

让遍历理论保持诚实的告诫

"几乎每个"是相对于 $\mu$ 而言的——这类命题对你具体那一个点什么也没说。每一个有理数都是上面倍增映射命题的例外（它们的轨道最终是周期性的）。这正是 collatz-orbit-statistics 中撞到的那堵墙：在人们已经理解考拉兹动力学的那个空间里，自然数只是一个测度为零的集合。