分裂的由来（希尔伯特 → 塔尔斯基 → 哥德尔）
语法/语义的区分与可靠性—完备性之间的桥梁，都不是天上掉下来的——它们是在大约五十年间，从一场危机和一个破灭的梦想中锻造出来的。
1. 逼出形式化的危机（19世纪末）
三次冲击让"显然"的推理变得不可信：分析学的严格化（用 ε–δ 取代关于极限的直觉）；非欧几何（平行公设是一个选择，而不是一个真理）；以及集合论悖论（罗素悖论，1901年——所有不包含自身的集合所构成的集合）。如果直觉会误导人，证明就必须变成无需依赖直觉即可检验的对象。
2. 把语法精确化（弗雷格 → 罗素 → 希尔伯特）
- 弗雷格，《概念文字》（Begriffsschrift，1879年）： 第一个真正的形式系统——量词，以及"证明即受规则约束的符号操作"这一观念。
- 罗素与怀特海，《数学原理》（Principia Mathematica，1910–13年）： 在一个形式逻辑内部推导出数学。
- 希尔伯特纲领（1920年代）： 形式主义——把数学当作一场有穷的符号游戏，一切都靠句法手段来解决。对一个数学形式系统的三项目标：应当完备（每一个真命题都可推导）、一致（可用有穷方法证明）、可判定（存在一个判定可证性的算法——即判定问题，Entscheidungsproblem）。语法本应是至高无上的。
3. 把语义精确化（塔尔斯基，1933年）
在此之前，"真"一直是个非形式的概念。塔尔斯基，《形式化语言中的真理概念》（1933年）： 给出 M ⊨ φ 的递归定义——"在一个结构中为真"，从原子命题出发，借助联结词/量词逐层构建。现在语义与语法一样严格，这一分裂的两侧都成了数学对象——于是"可证性与真理是否重合？"变成了一个精确的问题。
4. 答案——先是一个"是"，然后是一堵"否"的墙
- 波斯特（1921年）： 命题演算是可靠且完备的。
- 哥德尔完备性定理（1929年，其博士论文）： 一阶逻辑是完备的——对有效性而言
⊢ = ⊨。希尔伯特的第一个目标，就逻辑本身而言达成了。 - 哥德尔不完备性定理（1931年）： 这堵墙出现了。任何一致的、递归公理化的、强到足以刻画算术的理论，都存在为真却不可证的语句，并且无法证明自身的一致性。此处
⊢_PA与⊨_ℕ彼此分离——语法无法捕捉算术真理。希尔伯特对理论而言的完备性与一致性之梦破灭了。 - 丘奇与图灵（1936年）： 判定问题是不可解的——不存在判定有效性的算法（fol-undecidability）。希尔伯特的第三个目标也随之破灭。
5. 幸存下来的——这副透镜
正是这个区分，让我们能够把以上一切说清楚：完备性（1929年）说的是语法能触及所有逻辑上的有效式；不完备性（1931年）说的是语法无法触及所有算术真理；不可判定性（1936年）说的是即便是能触及的那些，也未必能被判定。这一分裂从此把逻辑学永久地分成了两支——模型论（塔尔斯基、鲁滨逊——研究 ⊨）与证明论（根岑——研究 ⊢）。