拉格朗日方法端到端算例（等式约束）

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一个有代表性的等式约束实例——只用拉格朗日乘数，不含不等式约束（所以没有互补松弛条件）。注意该方法一次性给出所有约束驻点：这里同时得到一个最小值和一个最大值。

问题。 在圆 h(x,y)=x²+y²−1=0 上求 f(x,y)=x+2y 的极值。几何上说：线性函数 x+2y 在保持落在单位圆上的前提下，能取到多远。

1. 拉格朗日函数与驻点条件

L(x,y,\lambda)=x+2y+\lambda\,(x^2+y^2-1).

∇ₓL=0 给出 1+2λx=0、2+2λy=0 ⟹ x=−1/(2λ)、y=−1/λ；而 ∂L/∂λ=0 还原出约束 x²+y²=1。

2. 求解——两个驻点

代入约束：1/(4λ²)+1/λ²=1 ⟹ 5/(4λ²)=1 ⟹ λ=±√5/2。

λ=+√5/2：(x,y)=(−1/√5,−2/√5)，f=−√5 —— 最小值；
λ=−√5/2：(x,y)=(+1/√5,+2/√5)，f=+√5 —— 最大值。

\boxed{\ \min f=-\sqrt5\ \text{ at }\ \Big(-\tfrac1{\sqrt5},-\tfrac2{\sqrt5}\Big),\quad \lambda=\tfrac{\sqrt5}{2}.\ }

3. 几何校验

已知结果：在 ‖x‖=1 的约束下，min aᵀx 等于 −‖a‖，在 x=−a/‖a‖ 处取得。此处 a=(1,2)，‖a‖=√5，于是 x*=−(1,2)/√5 ✓。在 x* 处，∇f=(1,2) 与 ∇h=(2x,2y) 平行（∇f=−λ∇h）——f 的水平线与圆相切。

4. 影子价格

将约束放松为 x²+y²=c。由缩放关系可得 p*(c)=−√(5c)，于是 dp*/dc=−√5/(2√c)。在 c=1 处：=−√5/2=−λ。因此 ∂p*/∂c=−λ——乘数正是约束水平的边际价值，与一般情形下的推导完全一致。✓

含互补松弛条件的不等式版本 → kkt-worked-example。