命题逻辑的一个具体例子
这是能同时看到两个方向的最小场景。命题逻辑是可靠且完备的（Post，1921）：⊢ φ ⟺ φ is a tautology。它的语义就是真值表（一个模型 = 一个真值赋值；⊨ φ 表示在每一个赋值下都为真）。
取 φ = P → (Q → P)。
语义（⊨）。 真值表在每一行都是 T，所以 φ 是一个重言式——⊨ φ：
P | Q | Q→P | P→(Q→P) |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | F | T |
| F | F | T | T |
语法（⊢）。 一个证明：假设 P；假设 Q；于是得到 P（复用第一个假设）；从而 Q→P；解除假设 P，得到 P→(Q→P)。故 ⊢ φ。
两者都成立——正如soundness与completeness所保证的那样。
可靠性的对照。 P → Q 不是重言式（在 P=T, Q=F 时为假），所以 ⊭ (P→Q)。根据 soundness（⊢ ⟹ ⊨，其逆否命题为 ⊭ ⟹ ⊬），它因此不可证——你永远无法证明一个假命题。（而根据 completeness，你能写下的每一个重言式都确实有一个证明。）