KKT 完整算例：端到端求解

上级：math · 先修：lagrangian

一个有代表性的实例——只有一个不等式约束，因此互补松弛条件会迫使我们做一次真正的情形分讨。用 kkt 求解，用几何方式核验，核验影子价格，再确认与对偶结果一致。

问题。 最小化 f(x,y)=(x−2)²+(y−2)²，约束为 g(x,y)=x+y−2 ≤ 0。几何上看：在半平面 x+y ≤ 2 中找到离 (2,2) 最近的点。

1. 拉格朗日函数与 KKT 条件

L(x,y,\mu)=(x-2)^2+(y-2)^2+\mu\,(x+y-2),\qquad \mu\ge 0.

KKT 条件：

平稳性（stationarity） ∂L/∂x = 2(x−2)+μ = 0，∂L/∂y = 2(y−2)+μ = 0；
原始可行性 x+y−2 ≤ 0；
对偶可行性 μ ≥ 0；
互补松弛性 μ(x+y−2) = 0。

2. 求解——情形分讨

平稳性条件给出 x = y = 2 − μ/2。互补松弛条件把问题分成两种情形：

μ = 0（约束不起作用）：此时 x=y=2，于是 x+y=4 > 2——违反可行性，舍弃。
μ > 0（约束起作用，x+y=2）：代入 2(2−μ/2)=2 ⟹ 4−μ=2 ⟹ μ=2，从而 x=y=1。检验 μ=2 ≥ 0 ✓，x+y=2 ✓。

\boxed{\,(x^\ast,y^\ast)=(1,1),\quad \mu^\ast=2,\quad f^\ast=(1-2)^2+(1-2)^2=2.\,}

3. 几何核验

(2,2) 在直线 x+y=2 上的投影正是 (1,1)；平方距离 = 2。✓ 而且 ∇f=(2(x−2),2(y−2))=(−2,−2) 与 ∇g=(1,1) 平行，满足 ∇f=−μ∇g=−2(1,1) ✓。

4. 影子价格（灵敏度分析）

把约束放松为 x+y ≤ b。当 b<4 时最优点是投影点 (b/2,b/2)，因此

p^\ast(b)=2\Big(\tfrac{b}{2}-2\Big)^2,\qquad \frac{dp^\ast}{db}=2\Big(\tfrac{b}{2}-2\Big).

在 b=2 处：dp*/db = 2(1−2) = −2 = −μ*。所以μ*=2 正是该约束的边际价值——放松约束（提高 b）会以速率 μ 降低最优值。✓

5. 对偶——极小极大问题收拢

对偶函数 $q(\mu)=\min_{x,y} L$ 。把平稳点 x=y=2−μ/2 代回：

q(\mu)=2\Big(\tfrac{\mu}{2}\Big)^2+\mu\big(2(2-\tfrac{\mu}{2})-2\big)=\frac{\mu^2}{2}+\mu(2-\mu)=-\frac{\mu^2}{2}+2\mu.

对 μ≥0 求最大值：q'(μ)=−μ+2=0 ⟹ μ=2，q(2)=−2+4=2。 强对偶性：对偶最优值 2 等于原始最优值 2 ✓（凸二次规划，Slater 条件成立），并且使其最大化的 μ=2 正是那个 KKT 乘子。原始问题、几何、灵敏度、对偶——整条故事线都收拢到同一个 μ*=2 上。