KKT 条件

父级：math · 前置：lagrangian

约束优化问题最优解 x* 的必要条件，写在 lagrangian L(x,λ,μ) 之上。

KKT

在最优点 x*（满足某个约束规范条件）处：

• 平稳性 — $\nabla_x L=0$（目标函数的梯度被活跃约束的贡献抵消）；
• 原始可行性 — hᵢ=0，gⱼ≤0；
• 对偶可行性 — μⱼ≥0；
• 互补松弛性 — μⱼgⱼ=0：每个不等式约束要么紧（gⱼ=0），要么不起作用（μⱼ=0）。

对凸问题，KKT 条件同时也是充分的（满足 KKT 条件的点即为全局最优点）。我们在 Holmström 的推导里正是用到了这一点。

完整的端到端算例（情形划分 + 影子价格 + 对偶）：kkt-worked-example。