LTV：Lifetime Value，一个用户一生值多少钱

LTV 在问什么。 一个用户从注册到流失，一生总共给你赚多少钱。这个数决定了获客成本（CAC，Customer Acquisition Cost）的上限：获客成本必须小于 LTV，不然每拉一个用户就亏一个。

推导从留存曲线出发。 设月留存率是 r，就是这个月付费的用户，下个月还付费的比例。那么 t 个月后还留着的比例就是 r 的 t 次方。期望付费月数就是把这些比例全加起来：1 + r + r² + r³ + …，等比数列求和等于 1/(1-r)。所以：

LTV = ARPU \times 毛利率 \times \frac{1}{1-r}

ARPU 是每用户平均收入，毛利率是扣掉直接成本后剩下的比例，1/(1-r) 是期望生命周期。

Lucerna 的数，假设要标明。 定价是定死的：月付 ¥18、年付 ¥180。留存率和毛利率是假设数，不是实测数据，只用来走一遍公式。月付、月留存 90%：期望寿命 1/(1-0.9) = 10 个月，毛 LTV 是 18 × 10 = ¥180，按七成五毛利率约 ¥135。年付 ¥180 是年付用户首年一次性付的款，不是 lifetime 的总数：年留存 60% 时期望寿命是 1/(1-0.6) = 2.5 年，大约是 180 × 2.5 × 75% ≈ ¥337。

完整版要补的两处。

转化率：上面那个公式是付费用户 LTV，一上来就锁定了“这个人付费了”。拿去跟 CAC 比，得用获客 LTV，也就是每个拉来用户的期望值：

获客\ LTV = 付费转化率 \times 付费用户\ LTV

付费转化率 10%、付费 LTV ¥135，每拉来一个用户期望只赚 ¥13.5。漏斗有两层（访客→注册→付费），就把两层转化率连乘。

折现：未来的钱比今天的钱不值钱，所以严格版要把未来每一期的钱除以 (1+d)^t，d 是折现率：

折现\ LTV = \sum \frac{留存_t \times ARPU \times 毛利率}{(1+d)^t}

月付那个例子不折现毛 LTV 是 ¥180，按月折现率 1% 算大约 ¥165。寿命越长，折现扣掉的越多。

敏感性表（毛收入，未扣成本）。 月付：月留存 80% → 5 个月 → ¥90；85% → 6.7 个月 → ¥120；90% → 10 个月 → ¥180；95% → 20 个月 → ¥360。年付：年留存 50% → 2 年 → ¥360；60% → 2.5 年 → ¥450；70% → 3.33 年 → ¥600；80% → 5 年 → ¥900。再乘毛利率就是净 LTV。

实操里四条细节。 第一，真实留存曲线不是一条指数线：开头陡降、中间平缓、最后剩一小撮核心用户尾巴拖得很长，固定 r 会算偏，cohort 必须分开看（付费广告拉来的 cohort 留存远低于自然来的）。第二，毛利率是贡献毛利：支付费、服务器、模型成本、退款、坏账要扣，固定成本不扣；扩张收入（升级、家庭版）会把 LTV 推高出基础版，净收入留存超过 100% 就是负流失。第三，回本周期能先于 LTV 要命：LTV 再高、CAC 要 18 个月才赚回来，现金流先断了，年付首年 ¥180 到手就是回本当场完成。第四，提 LTV 的杠杆里留存最大，因为 1/(1-r) 是凸函数：月留存从 90% 提到 95%，寿命从 10 个月翻倍到 20 个月，涨价 5% 只多 5%。

还缺什么。 留存率、精确单位毛利、CAC 都还没有真实数，产品还没跑出付费 cohort。先用敏感性表框范围，等收费跑起来，就不用固定 r 了，按实测 cohort 曲线逐月加总替换，数据来源是独立网店加 shadow ledger。